曲率（きょくりつ、英語：curvature）とは曲線や曲面の曲がり具合を表す量である。例えば、半径 "r" の円周の曲率は "1/r" であり、曲がり具合がきついほど曲率は大きくなる。この概念はより抽象的な図形である多様体においても用いられる。曲面上の曲線の曲率を最初に研究したのは、ホイヘンスとされ、ニュートンの貢献もさることながら、オイラーは曲率の研究に本格的に取り組んだ。その他モンジュ、ベルヌーイ、ムーニエなども研究した。ある任意の曲線において、線上の点 "P" を基点とし、そこから曲線上の任意点 "P"（位置ベクトル r で表されるとする）までの距離を "s" とする。(この場合のsは一般座標上の距離か曲線上の長さのいずれでもよい。）このとき　点 "P"の位置は、というように、変数"s" の関数として表すことができる。(以下、特に断らない限り r = r とする。)このとき、点 "P" で接する方向の単位ベクトル（これを t とする）は、となる。（位置ベクトルの変位分 "Δ" r が十分小さい時、|"Δ" r| = "Δ s" だから単位ベクトルである。）同様にしてと表される点 "Q"を考えるとき、点 "Q" 上の単位接線ベクトルtは、であり、二つの単位接線ベクトルt 、tのなす角度を "Δθ" とすると従って接線傾斜"Δθ"の変動率であるχを以下のように定義できる。となる。一般に χを曲率、χの逆数である"R" を曲率半径と言う。また、特に曲線が高次のとき、Δ"s" → 0 の極限で二つの接線によって決まる平面を、点 "P" における接触平面と言う。更に、t を "s" で微分すると、が得られる。ここで n が主法線方向の単位ベクトルであり、主法線と接線は直交している。これは "d" r/"ds" が単位ベクトルのため、となり、これを "s" について微分すると、となるためである（ベクトル同士の内積がゼロとなるので、当該ベクトル同士は直交している）。ベクトル t と n の外積、で得られるベクトル b が陪法線方向の単位ベクトルとなる。陪法線は接触平面に対する法線となっている。

出典:wikipedia