数学において、数平面（すうへいめん、）あるいは複素数­平面（ふくそすう­へいめん、, ）は、数直線あるいは実数直線 (real line) を実軸 (real axis) として含む。 が実数であるとき、複素数 を単に実数の対とみなせば、平面の直交座標 の点に対応付けることができる。"xy"-平面上の "y"-軸は純虚数の全体に対応し、虚軸 (imaginary axis) と呼ばれる。-平面上の点 に複素数 を対応させるとき、-平面とも言う。1811年頃にガウスによって導入されたため、ガウス平面 (Gaussian plane) とも呼ばれる。一方、それに先立つ1806年に も同様の手法を用いたため、アルガン図 (Argand Diagram) とも呼ばれている。さらに、それ以前の1797年の の書簡にも登場している。このように複素数の幾何的表示はガウス以前にも知られていたが、今日用いられているような形式で複素平面を論じたのはガウスである。三者の名前をとってガウス・アルガン平面、ガウス・ウェッセル平面などとも言われる。英語名称 complex plane を「直訳」して複素平面と呼ぶことも少なくないが、ここにいう complex は「複素数上の—」という意味ではなく複素数そのものを意味している（複素数の全体を "the complexes" と呼んだり、" is a complex" などのような用例のあることを想起せよ）。したがって、語義に従った complex plane の直訳は「複素数平面」と考えるべきである（実数全体の成す real line についても同様であり、これは通例「実数直線」と訳され、実直線は多少異なる意味に用いられる）。ガウス平面を考えるとき、複素数がその平面上の点（あるいはその点を表す位置ベクトル）として表されるということとともに、複素数に対する代数的な演算がガウス平面上の幾何学的操作に対応することが重要である。複素数の全体 の代数的に記述できる性質として、加法（和と差を包摂する意味で言う）およびは、ガウス平面上の点としての複素数の全体 が実数体上（二次元の）ベクトル空間を成すことを説明するものであり、幾何学的には平面上の平行移動および原点中心のに対応する。一方、実数とは限らない複素数を別の複素数に左乗することは、平面上に原点を動かさない反転や回転を含む一次変換を引き起こす。この一次変換を表現する行列を考えることで、複素数を実行列として実現することができる。複素数の代数的操作により、ガウス平面上で平行移動と任意の一次変換が行えるから、したがって任意のアフィン変換を施すことが可能である。ここで仮にガウス平面に無限遠点をただ一つ付け加えて、複素数 を拡張された平面上の点 と看做せば、拡張された数平面上のアフィン変換は一次分数変換であり、また複素数をアフィン変換を表現する行列として実現することもできる。この拡張された数平面を補完数平面あるいは数球面（リーマン球面）と呼ぶ。複素数はまた絶対値をも持つが、これはガウス平面においては、その複素数を表す点と原点との間の距離として理解することができる。従って特に任意の非零複素数 に対して、それを絶対値 で割った を表す点は、原点からの距離が , すなわち単位円上に存在するから、単位円上の弧長変数 （これを点 から測って（すなわちラジアン）、しばしば偏角と呼ぶ）によって特定することができる。ゆえに任意の非零複素数は、絶対値と偏角の二つの幾何学的数値によって確定する。複素数 "z" = "x" + "yi"（"x

出典:wikipedia