分数（ぶんすう、）とは 2 つの数の比を用いた数の表現方法のひとつである。分数は中央の括線（かっせん、）と呼ばれる棒線を隔てて、上に分子（ぶんし、）、下に分母（ぶんぼ、）を配置することにより記述される。たとえば、などと書けば、この場合の分子は 、分母は であり、「 分（ぶん）の 」 () などと読まれる。のように分子・分母がさらに分数を含むような分数を繁分数（はんぶんすう、）という。のように分母が数と分数の和でありさらにその分母が数と分数であるといった形のものを連分数（れんぶんすう、）という。… の部分は有限個にとどまる場合もあるし、無限に分数が繰り返されるものもある。最も基本的な分数の概念は、自然数あるいは整数から構成されるものである。正の整数 に対し のように分子が 1 である分数を単位分数（たんいぶんすう、）という。これは 1 を 等分した数量、言い換えれば 倍したものが 1 となる数を表す。正の整数 について、分数 を考えることができる。分数 は割り算 の商、あるいは単位分数 の 倍の数と捉えることができる。また、 の比を持つ2つの数量のうち、 に相当する数量の大きさを 1 とした場合、他方の に相当する数量の大きさは となる。この事実から、分数 で表わされる数のことを指し、2つの数 の比と表現することがある。分数 と単位分数 はどちらも同じ算術の規則に従い、現在ではどちらかを特別視することはない。しかし歴史的には、古代エジプトにおいて単位分数は基本的な量と考えられており、エジプトの数学者はさまざまな分数を異なる単位分数の和として表していた。その計算の一部はリンド数学パピルスなどに残されている。この事実に因み、単位分数の和をエジプト式分数と呼ぶことがある。正の分数の中でも、分子が分母より小さい分数を真分数（しんぶんすう、）という。真分数は 1 より小さいという性質を持つ。このことは を真分数であるとして、1 および の 倍の数について大小を比較することで確認できる。真分数でない分数を仮分数（かぶんすう、）という。真分数は整数ではないが、仮分数は整数でないとは限らない。例えば などは整数だが仮分数として表わすことができる。仮分数が整数である場合、分母は分子の約数になっている。整数と真分数の和の + を省略してと書いた分数を帯分数（たいぶんすう、）といい、「 と 分の 」と読む。「 か（個、箇、ケ） 分の 」とも。明治初期の教科書では「か」であったが、その後西洋風に（英語ではこの部分を and と読むように）「と」と読ませる教科書も現れた。1905年以降の教科書では、1910年から1937年までと昭和30年代のもので「と」と「か」が併用されていたほかは、「と」と読ませている。たとえば は に分解することができ、帯分数として と表わすことができる。帯分数は掛け算の積と混同されるおそれがある。数 と の掛け算 の積もまた と表わされるため、表記の上では帯分数と区別できない。このことは、数 を具体的に定めない場合のように、数をこれ以上簡約することができない場合に特に問題となる。積と和の混同を避けるため、暗黙には帯分数を用いないことが多い。この記事においても、暗黙に帯分数を用いることは避け、用いる場合には帯分数であることを明示する。帯分数の記法を使うことにより、1 以上の数を整数と真分数の帯分数として表すことができる。帯分数の記法は整数部分の計算や、整数との比較をするには便利である。たとえばとでは帯分数で表わした場合の方が真偽が明白になる。一方で帯分数の掛け算や割り算は、同じ数に対する仮分数の掛け算や割り算に比べて煩雑である。たとえばよりの方が検算は容易だろう。分数は比や割合といった概念に対応しており、0 でない数 を分母と分子にそれぞれかけても割っても、その分数の表す数は変わらない。の形に書かれとなる。このように分母と分子を公約数で割る操作を分数の簡約（かんやく、）あるいは簡単に約分（やくぶん）と呼ぶ。 と が互いに素である分数 を既約分数（きやくぶんすう、）といい、ある分数が既約分数であることを「（その分数は）既約である」という。ある分数が既約である場合、分母と分子の最大公約数が 1 であるため、約分によって別の分数表現を得ることはできない。分数が既約でない場合、その分数は可約（かやく、）または約分可能であるという。可約な分数は常に既約分数に直すことができ、逆に既約分数を可約分数に書き直すこともできる。これらの分数は同じ数を表しているが、右辺の は 5 と 7 が互いに素なので既約分数であり、それ以外の などの分数は可約である。分母や分子が整数の場合に限らず、多項式などであっても因数分解が定義されているならば、分母と分子に共通な因数を見出すことができ、その因数が乗法単位元でない場合、約分をすることができる。たとえばは分数式の約分である。分数式の分子分母における は不定元であり、特別な値を持たない。 を不定元でなく具体的な数であると見なす場合、上記の分数表現は破綻することに注意しなければならない。左辺の可約な分数に を代入した場合、分子も分母も因数として を持つために、分数は となり、（通常の代数においては）未定義の数となるが、しかし右辺の既約分数に対しては代入の結果が に定まる。どちらの結果が適切であるかは場合によって異なり、 という条件の下で左辺の分数が得られたならばその数は未定義となるし、右辺の分数が得られたならその値は に定まる。分数は割り算に、割り算は分数に置き換えることができる。等式において、両辺に "a" をかけ分母の無い形にすることを分母を払うという。分数ではない数は分母が 1 の分数と見なせる。これにより全ての演算は分数同士の演算と見なすことができる（）。逆に分母が 1 である分数は、分母を省略し分数ではない数としても扱える（）。分数同士の積は分母と分子それぞれの積になる。特に分数 は分数 の逆数であるため、これらの積は 1 になる。分母が同じ分数の和や差は分子の和や差に置き換えることができる。分母が異なる分数の和や差は分母と分子を定数倍することによって分母を一致させてから行う。 と の公倍数の1つ を取る。すなわち適当な数 を用いてと書けるときとなる。このように分母を合わせる操作を通分（つうぶん）という。また、帯分数を仮分数に直す場合にも同様の計算が使える。分数での割り算はその法数の逆数による積に変換される。

出典:wikipedia