数学でいう濃度（のうど、）とは、集合論において無限集合同士のサイズを比較するために、有限集合の要素の個数という概念を無限集合にも拡張させたものである。一般に集合の濃度は基数 (cardinal number) と呼ばれる数によって表される。有限集合では要素の個数と濃度は等しい。歴史的には、カントールにより初めて無限集合のサイズが一つではないことが見出された。それぞれの集合 "A" には "A" の濃度（|"A"|、card("A")、#"A" などで表される）と呼ばれるものが一つ割り当てられており、次の性質をみたす:ある集合の濃度であるものを基数と呼ぶ。有限集合の濃度（すなわち自然数）を有限基数、無限集合の濃度を無限基数と呼ぶ。この定義は濃度を集合論的対象として捉えられておらず、その意味で厳密ではない。正式には、"A" の濃度とは、"A" との間に全単射が存在する順序数の中で最小のものであると定義される。実際、このように定義すれば上の性質をみたすことが示される。この定義では全ての集合が濃度を持つことを言うために選択公理が必要である。選択公理を仮定すればかなる集合"X" は整列可能であることから、ある順序数αに対して |"X"| = α なるαが存在する。選択公理を仮定せず、正則性公理を使って濃度を定義する方法も知られている。それは、集合 "A" との間に全単射が存在するような集合で階数が最小のものをすべて集めた集合を "A" の濃度と定義する方法であり、これは発見者の名から「スコットのトリック」と呼ばれている。このように集合の濃度を定義する方法は一つではないが、必要なのは濃度が上の性質 1. と 2. をみたすということであって、それが具体的にどのように定義されたかは通常の数学を展開する上ではあまり重要視されない。そのため、数学基礎論以外の多くの文献では「"A" から "B" への全単射が存在するとき、"A" と "B" は濃度が等しいと言う」のように集合の間の関係だけを定義し、濃度（基数）そのものについては具体的に定義せず扱っている。可算濃度とは自然数全体の集合の濃度である。通常、formula_1（アレフ・ゼロ）あるいは formula_2 と表記される。formula_3はヘブライ文字のアレフである。定義より、可算濃度をもつ集合は自然数全体との間に一対一対応を付けることができ、これによって 1, 2, 3, … と順番に数えていくことができるため可算無限集合と呼ばれる。自然数全体、整数全体、偶数全体、奇数全体、有理数全体はいずれも可算無限集合である。有限集合と可算無限集合をあわせて可算集合と呼ぶ。連続体濃度とは実数全体の集合の濃度である。formula_3 あるいは formula_5 と表記される。カントールの対角線論法によって formula_6 が成り立つことが証明される。可算濃度には以下のような性質がある。基数の間に大小関係を定義する。基数 κ, λ に対して、 |"A"| = κ，|"B"| = λ である集合 "A

出典:wikipedia