数学において、連続（れんぞく、）および連続性（れんぞくせい、）とは、いくら拡大しても近くにあって差が無いことを示す極限概念である。位相空間のあいだの写像について、開集合や極限といった位相的な概念を一定の方法でたもつという条件によって連続性の概念が定められる。これは異なる位相空間のあいだの関係を表す最も基本的な枠組みである。以下に1変数実関数の場合を主として、関数の連続性および様々な派生概念をのべる。連続性は、各点の周りで考えられる概念である。1変数実関数 "f"("x") がある点 "x" で連続であるとは、"x" が "x" に限りなく近づくならば、"f"("x") が "f"("x") に限りなく近づくことを言う。これはε-δ論法を用いれば次のように定式化できる。（小さな）正の数 ε が任意に与えられたとき、（小さな）正の数 δ をうまくとってやれば、"x" と δ 以内の距離にあるどんな "x" に対しても、"f"("x") は "f"("x") の差が ε より小さいようにすることができる:また、関数 "f"("x") がある区間 "I" で連続であるとは、"I" に属するそれぞれの点において連続であることを言う:関数"f"("x") が多変数であったり、またはベクトル値関数である場合にも、基本的には上の絶対値の記号をノルム（長さ）に変更すれば同じようにして連続性を定義することができる。関数空間のような無限個の変数で表される対象や、さらに抽象的な位相空間上で定義された写像についての連続性は近傍系やフィルター、有向点族（ネット）などの概念を通じて定義される。一般に、"f" を位相空間 "X" から位相空間 "Y" への写像とするとき、"f" が "x" ∈ "X" で連続であるとは、"f"("x") ∈ "Y" のどんな近傍 "V" であっても、"x" の適当な近傍 "U" をとれば、その近傍の像が"f"("U") ⊆ "V"とできることをいう。これは、"Y" の点 "f"("x") を含む任意の近傍の "f" による逆像がまた "x" の近傍であるとき、"f" は "x" において連続であるというと言い換えることができる。また、"f" が "X" 全体で連続であるということは、単に"Y" の任意の開集合の逆像がまた "X" の開集合であるのと同じである。実数や複素数（あるいはその列）の全体に対して、絶対値（あるいはノルム）を距離関数として距離空間の位相を導入すれば、「連続関数」は「連続写像」の例であることが理解される。各点連続よりも強い概念に一様連続性の概念がある。1変数実関数に "f"("x") についてこれは次のように定義される。（小さな）正の数 ε が任意に与えられたとき、（小さな）正の数 δ で、δ 以内の距離にあるどんな数 "x

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