ド・モアブルの定理（ド・モアブルのていり。ド・モアブルの公式（ド・モアブルのこうしき）とも）とは、複素数（特に実数） θ および整数 に対してが成り立つという、複素数と三角関数に関する定理である。定理の名称はアブラーム・ド・モアブル (Abraham de Moivre) に因むが、彼がこの定理について言及したわけではない。帰納法による証明では、三角関数の加法定理が利用される。実数 θ と正の整数 に対してド・モアブルの定理を考えると、左辺を展開し右辺と実部・虚部を比較することにより、 倍角の公式が導出される。すなわち、ド・モアブルの公式は三角関数の 倍角の公式を内在的に含んでいる。オイラーの公式 :formula_2によれば、この定理は複素変数の指数関数に関する指数法則（の一つ）の成立を意味するものである。ド・モアブルの定理は指数が非整数のとき一般には成り立たない。それは、複素数の非整数乗は複数の異なる値を取る（多価関数）からである（指数法則等の不成立、 参照）。 が整数でないとき、ド・モアブルの定理における 乗の式は、等式が成立する値を含めた複数の値を取ることとなる。θ を実数、 を複素数とするとである。したがって、"w" が整数であればという 1 つの値を取るが、"w" が整数でないときは formula_6 を含む複数の値を取ることになる。虚数単位の累乗をド・モアブルの定理を用いて求める。（なお、先述したように、"a" が非整数のときは、複数取る値のうちの1つだけを求めている。）例虚数単位の平方根にはこの他に（-1倍したもの）があるのは周知の通りである。

出典:wikipedia