数学の特に函数解析学における正規作用素（せいきさようそ、）は、複素ヒルベルト空間 "H" 上の連続線型作用素 でエルミート随伴 を持ち、 を満たすものを言う。正規作用素が重要であるのは、それに対するスペクトル定理が成り立つからである。今日では正規作用素のクラスはよく分かっている。正規作用の例としては正規作用素はそのスペクトル定理によって特徴づけられる。コンパクト正規作用素（特に有限次元線型空間上の正規作用素）はユニタリ対角化可能である。有界作用素 に対して以下の条件は何れも同値である。三つ目は等式を自乗して の形に見れば、四つ目は各成分が で与えられるから、それぞれ正規性との同値性はあきらかである。互いに可換な正規作用素の積はやはり正規となるが、これは自明ではなくから従う。フーグリードの定理（のパットナムが拡張した形）は正規作用素の作用素ノルムは、そのおよびスペクトル半径に等しい。正規作用素はそのと一致する。有限次元の実または複素ヒルベルト空間（内積空間） 上の正規作用素 が部分空間 を保つならば、 はその直交補空間 も保つ（この主張は が自己随伴ならば自明である）。[証明]. を の上への直交射影とすれば の上への直交射影は である。 が を保つことは または で表されるという事実を用いれば、目的は を示すことに言い換えられる。 が の自己準同型全体の成すベクトル空間上の内積となることから、 を示せば十分である。そこでまずは "XX" を直交射影で書きなおせばとなるから、ここでトレースと直交射影の性質に従って計算すればを得る。同じ論法が、無限次元ヒルベルト空間のコンパクト正規作用素に対しても、を用いて通用する。しかし、一般の有界正規作用素に対しては、不変部分空間の直交補空間で不変とならないものが存在し得る。これはつまり、そのような部分空間は固有ベクトルで張ることはできないということを意味する。例えばを考えれば、これは固有値を持たない。両側シフト作用素の不変部分空間はによって特徴づけられる。正規作用素の概念は対合線型環への一般化される。つまり、対合線型環の元 が正規であるとは、 を満たすときに言う。最も重要な場合は、対合線型環が-線型環であるときである。は正規元の例である。有界作用素の定義は、ある種の非有界作用素のクラスに対しては自然に一般化される。具体的には、閉作用素 が正規であることをで定める。ここで随伴 の存在性は の定義域が稠密であることを、等号は の定義域が の定義域と等しいことをそれぞれ含意するが、この場合一般には必要でない。非有界正規作用素に対してもスペクトル定理はやはり成り立つが、ふつうは別に証明が必要である。正規作用素論の成功は、その可換性条件を緩めた様々な一般化への呼び水となった。そのような正規作用素を含む作用素のクラスにはなどがある（上記は、後のものが前のものを含むより広いクラスとなるような順番で並べてある）。

出典:wikipedia