写像（しゃぞう、, ）とは、二つの集合が与えられたときに、一方の集合の各元に対し、他方の集合のただひとつの元を指定して結びつける対応のことである。函数（関数）、変換、作用素、射などが写像の同義語として用いられることもある。ブルバキに見られるように、写像は集合とともに現代数学の基礎となる道具の一つである。現代的な立場では、「写像」と（一価の）「函数」は論理的におなじ概念を表すものと理解されているが、歴史的には「函数」の語は解析学に出自を持つものであり、一部には必ずしも写像でないものも函数の名の下におなじ範疇に扱われる（多価函数参照）。文献によっては「数の集合（大抵の場合実数体 または複素数体 の部分集合）を終域に持つ写像」をして特に「函数」と呼び、「写像」はより一般の場合に用いる。函数、二項関係、対応の各項も参照のこと。集合 の各元に対してそれぞれ集合 の元をただひとつずつ指定するような規則 が与えられているとき、 を「始域または定義域 から終域 への写像」といいなどと表す。また は で（あるいは の上で）定義されているといい、あるいはまた は に（あるいは の中に）値を持つという。始域 を 、終域 を のように記すこともある。また、 の元 に対して によって指定される の元が である（このことを、 が によって に写（移）されるともいう）とき、 を における の像あるいは値（あたい、）と呼び、 を で表す。また、代表元 が によって に写されることを、棒つき矢印を用いてなどとも表す。変数 を用いて のように写像を表すとき、 は、 を亘る（または走る）変数 の函数である、あるいは変数 に従属するという。集合論に由来する定義と、圏論に由来する定義に分けて説明する。集合論においては、集合 , の元の順序対からなる集合（すなわち二項関係） がの二つをみたすとき、 を から への函数と呼び、 で表す。またこのとき、 であることを と書く。この文脈では、 と のグラフ } を同一視し、函数と写像を同じ意味に用いる。二つの写像 と の相等は、集合として同一であるということ、すなわちということであるが、これは（ と の定義域が等しく、かつ）任意の に対して であることと同値である。一方、圏論の用語との整合性を重んじる文脈では、次のようになる。集合 , の元の順序対からなる集合（すなわち二項関係） がの二つをみたすとき、三つ組 をこの関数関係 から定まる から への写像と呼び、 で表す。またこのとき、 であることを と書き、を写像 のグラフと呼ぶ。二つの写像 と の相等は、三つ組としての相等をいう。特に、, がともに から への写像のとき、 と が等しいというのは、この二つの写像のグラフ と とが の集合として同一であるということ、すなわちということであるが、これは任意の に対して であることと同値なので、素朴な意味で写像 と が等しいと言ったときと同じ意味となる。圏論の用語と整合性をとる文脈では、写像の相等を扱う際の、二つの写像が「ともに から への」写像であるという但し書きは重要である。例えば から への写像 と から なる への写像 について、集合として （つまりグラフが一致）でも三つ組としては異なるから、この二つの写像は同一でない。実際、 なる元の対応で定められる二つの写像 と を考えると後者は全射性を持つが前者はそうでない（値域・終域の各項も参照）。など。これらはどれも、圏論における射の例になっている。（#射・函手）"X

出典:wikipedia