数学におけるの微分（びぶん）、微分係数、微分商または導函数（どうかんすう、）は、別の量（独立変数）に依存して決まるある量（函数の値あるいは従属変数）の変化の感度を測るものである。微分は微分積分学の基本的な道具である。例えば、動く物体の位置の時間に関する導函数はその物体の速度であり、これは時間が進んだときその物体の位置がどれほど早く変わるかを測る。 一変数函数の適当に選んだ入力値における微分係数は、その点における函数のグラフの接線の傾きである。これは導函数がその入力値の近くでその函数の最適線型近似を記述するものであることを意味する。そのような理由で、微分係数はしばしば「瞬間の変化率」として記述される。瞬間の変化率は独立変数に依存する従属変数である。微分はにも拡張できる。この一般化において、導函数はそのグラフが（適当な変換の後）もとの函数のグラフを最適線型近似する線型変換と解釈しなおされる。ヤコビ行列はこの線型変換を独立および従属変数を選ぶことで与えられる基底に関して表現する行列であり、独立変数に関する偏微分を用いて計算することができる。多変数実数値函数に対して、ヤコビ行列は勾配に簡約される。導函数を求める過程を微分あるいは微分法、微分演算 ("differentiation") と言い、その逆の過程（原始函数を求めること）をという。微分積分学の基本定理は反微分が積分と同じであることを主張する。一変数の微分積分学において微分と積分は基本的な操作の二本柱である。あるいは導函数（あるいは単に微分 (derivative)）を求める操作・演算を微分あるいは微分法 ("differentiation") と呼ぶ。 を変数とする函数 の微分は、変数の変化に対する函数の値の変化率（これを に関する の微分係数という）を測るものである。 が実数であるとき、 の に対する値をプロットした函数のグラフを考えれば、微分係数の値はこのグラフの各点における傾きである。（定数函数となる自明な場合を除けば）もっとも単純な場合は が の一次函数であるとき、つまり のグラフが直線となるときである。この場合、実数 を用いて と書けて、傾き は差分商 で与えられる。ここで記号 (デルタ) は「変化の増分」を表す符牒である。（この等式が成り立つことは、実際 から、変化量に関して および変化の割合に関して が成り立つことを見ればよい。）すなわち、この は直線の傾きの真値を与えている。しかし、函数 が一次函数でない場合（つまりグラフが直線でない場合）には の増分 を の増分 で割った値（平均の変化率）は変化する。微分は任意の値 に対してその（瞬間の）変化率の真値を定める方法である。つまり微分は、この差分商 の を無限に小さく ( に近く) する極限における極限値（微分商）として変化率を計算する（右図も参照）。実函数 について極限が存在するとき は において微分可能（びぶんかのう、'）であるといい、この極限を と書き における の微分係数と呼ぶ。微分可能な条件として への近づき方に依らずに 1 つの値に極限が収束することを課したが、この条件を弱めて より値が小さい方からの近づき方だけ考えた片側極限（左側極限、）が存在するとき、この極限を などと書き における函数 の左側微分係数 (") という。同様に、 より値が大きい方からの近づき方だけ考えた片側極限（右側極限、）が存在するとき、これを この極限を などと書き における函数 の右側微分係数 (") という。実数を拡大して超実数 の体系の中で考えるとき、実函数 の実点 における微分係数は（ の超実数への自然延長をやはり と書くとき）、無限小 に対して とすれば、 の に関する商 の を考えることで定義することができる。ここで、上記の差分商の標準部が無限小 の取り方に依らずに定まるとき、すなわちが成り立つとき、この実数 を実函数 の における微分係数と呼ぶ函数 が において微分可能であるとすると、 は において連続でなければならない。例えば、適当な点 を選び、 より小さい任意の に対して を値として返し、 以上の に対しては を返す階段函数を とすると、 は において微分係数を持たない。 が負の値をとるとき点 はこの階段の下の段にあり、 から へ引いた割線は傾きが非常に大きく、 を に近づける極限でこの傾きは無限大になる。他方 が正ならば点 は上の段にあり、 から へ引いた割線の傾きは である。これらの帰結として、割線の傾きは如何なる一つの値にも収束せず、従って差分商の極限は存在しないしかし、函数がその点において連続であったとしても、そこで微分可能でないことが起こり得る。例えば、絶対値函数 は において連続だが、微分可能でない。 が正のときは から へ引いた割線の傾きは だが、 が負のときは である。グラフで見ればこのことは、 においてグラフが「尖点」を持つことと理解することができる。しかしさらに函数が滑らかなグラフを持つ場合でも、接線が垂直になるために、その点で微分可能でないことが起こり得る。例えば は においてこの理由により微分可能でない。まとめると実用上現れる函数の大半は至る所あるいは殆ど至る所微分係数を持つ。の初期には、多くの数学者は連続函数は殆どの点において微分可能であることを仮定していた。この仮定は緩やかな条件、例えば単調性やリプシッツ性などのもとでは確かに満たされる。しかし1872年にカール・ヴァイアシュトラスは至る所連続だが至る所微分不能な函数の最初の例を示した。この函数は今日ではワイエルシュトラス函数と呼ばれる。1931年にステファン・バナフは、適当な点において微分係数を持つ函数全体の成す集合が、連続函数全体の成す空間においてことを示した。有り体に言えば、これはほとんど全ての連続函数が一点においてさえ微分可能でないということ意味する。函数 は定義域の各点 において微分係数を持つものとすると、各点 に対して における の微分係数を値に取る函数を考えることができる。この函数を と書いて の導函数と呼ぶ。すなわち、 の導函数は、 の定義域の各点における微分係数をすべて集めたものである。また が定義域のほとんどの点で定義されるが、いくつかの点において定義されないということもある。 が微分係数を持つ点 においてその微分係数 を値に取り、微分係数を持たない点については定義しないものとして得られる函数 もまた の導函数と呼ばれるが、この場合導函数の定義域はもとの の定義域よりも真に小さい。導函数の概念を用いると、微分演算を「函数の函数」と看做すことができる。すなわち微分演算は、定義域の各点において微分係数を持つ函数全体の成す集合を定義域とし、函数からなる適当な集合を値域に持つ作用素である。この作用素を と書けば、その値 は函数であり、従って点 において値を評価することができるが、それは定義によりその函数の微分係数 に等しい。微分可能な函数 の導函数 がさらに微分可能なとき の導函数を と書いて二階導函数と呼ぶ。二階導函数がさらに微分可能ならば三階導函数 が、三階導函数が微分可能ならば四階導函数 が定義できる。以下同様に 階の導函数が微分可能であるとき、その導函数を 階導函数という。この導函数はしばしば と書き表される。このように何度も微分して得られる導函数を総称して高階導函数と呼ぶ。ある函数 の 階導函数 が定まるとき、その函数 は 回微分可能であるという。このときさらに導函数 が連続函数であれば、函数 は連続的微分可能であるといい、函数 は 回連続的微分可能であるという。連続的微分可能な函数はクラス () に分類され、 階連続的微分可能な函数は 級 () であるという。何回でも微分できる（すなわち任意の有限階導函数を持つ）函数は無限回微分可能または -級であるという。また、十分に（つまりその場の議論において必要な階数の導函数をすべて含む程度に）大きな について 級であるような函数を滑らかな函数と呼ぶ。実数直線上で定義される任意の多項式函数は無限回微分可能である。標準的なにより、次数 の多項式は 回微分して定数函数にすることができる。それ以上高階の導函数は恒等的に零に等しい。特にそれらは存在するのだから、多項式函数は -級の滑らかな函数である。点 において微分可能な函数 の（高階も含めた）微分係数は の近くでの の多項式近似を与える。例えば が二回微分可能ならば、近似がを満たす意味で成り立つ。 が無限回微分可能ならばこれは の周りでのテイラー級数を において評価したものの初めの方の項である。函数の二階導函数がその前後で符号を変える点を変曲点という。変曲点において二階導函数は零になること（例えば 函数 の変曲点 の場合）もあれば、存在しないこと（たとえば の変曲点 の場合）もある。変曲点の前後で函数は凸函数から凹函数へ、あるいはその逆へ変わる。函数 の点 における微分係数を で表す（ラグランジュの記法）。あるいは、（ライプニッツの記法）やのようにも書く（ニュートンの記法）。またコーシーは次のような記法を用いた。一般に 階微分可能な函数 の 階導函数をあるいはなどと記す。 が微分可能な の函数で、 が に無関係な定数のときいくつかの初等函数に関して、特徴的な微分公式が挙げられる。 はそれぞれ指数函数と対数函数であり、 は三角函数、 は三角函数の逆函数（逆三角函数）、 は双曲線函数、 は双曲線函数の逆函数（逆双曲線函数）である。また、三角函数および双曲線函数のべき乗は のように函数名の肩に指数を書いて表していることに注意。実数 を適当なベクトル空間 のベクトルへ写す実変数 は成分ごとの函数に分けて と書くことができる。例えば または 内の はベクトル値函数である。成分函数（座標函数）は実函数だから上で述べた意味において微分を考えることができる。任意の成分函数が において微分係数を持つときかつそのときに限り、 の微分係数は存在して における接ベクトルと呼ばれるベクトルを定める。任意の に対して の微分係数が存在するとき、導函数 はそれ自身ベクトル値函数を定める。となる以外は無い。これは上記の結果と整合する。 は多変数の函数とすれば、これを一つの変数に関する（そのほかの変数で添字付けられる）函数として解釈しなおすことができる。これは例えば とすれば、 の任意の値を決めたとき一変数函数 が定まるということであり、実際に の値を と選べば、 は変数ではなく定数であり、二変数函数 は一変数函数 を決定する。これに対して一変数函数の微分を適用すれば導函数として を得るが、このやり方は の値として の選び方に依らない。任意の に対するこの導函数を総称的に扱って、二変数函数 の -方向への変分を記述する函数 が得られる。これを の に関する偏微分と呼び、丸い d の記号 ∂ は偏微分記号と呼ばれる。一般に、点 における函数 の -方向への偏微分はで定義される。上記の極限を取る差分商は一つの変数 を除いて固定したもので、変数を固定することで得られる一変数函数に対して、定義によりが成り立つ。多変数函数の場合の重要な例として、ユークリッド空間 内の領域上で定義された がある。この場合 は各変数 に関する偏微分 を持ち、点 においてこれらの偏微分は の における勾配と呼ばれるベクトル を定める。 が適当な領域上の各点で微分可能ならば、勾配は をベクトル へ写すベクトル値函数、すなわちベクトル場を定める。 が 上の実数値函数ならば、 の各偏微分は の各座標軸方向への変分を測るものである。例えば、 が の函数であれば -方向、-方向の変動を偏微分は測ることができるが、しかし対角線 など任意の方向への の変動を直接的に測るものではない。それらを測るのは方向微分である。ベクトル に対して、 の における -方向への方向微分は、差分商の極限で与えられる。場合によってはベクトルの長さを調整してから方向微分をした方が評価や計算が楽になることがあり、しばしば単位ベクトル方向の方向微分として計算される。実際、 として、上記の差分商に を代入すれば、となり、 の極限で同じく であるから、 に関する方向微分の微分商は に関する方向微分の微分商の -倍 () であることが分かる。この相似性により、単ベクトルに関する方向微分のみ考えるということもしばしば行われる。に従う。これは全微分の定義からの帰結である。方向微分は に関して線型、すなわちベクトル に対して を満たす。同様の事は が に値を取るベクトル値函数に対しても（成分ごとに考えて）定義できる。この場合、方向ベクトルの値は のベクトルとして与えられる。 が の開集合から への函数ならば、 の方向微分は、その点における の選択した方向への最適線型近似を与える。しかし、 のときは、位置方向への方向微分だけでは の挙動を完全に捉えることはできない。全微分は、全ての方向を一度にまとめて考えることで函数の挙動を完全にとらえるものである。を満たす唯一の線型写像 と定義される。ただし、 だから分母におけるノルムは における標準ノルムであり、他方 であり分子のノルムは の標準ノルムである。 が を始点とするベクトルならば、 は による のと呼ばれ、 とも書かれる。 の点 における全微分係数 は を始点とする任意のベクトル に対して、線型近似公式が満足される。一変数の微分係数のときと同じく はこの近似の誤差が可能な限り最小となるように選ばれる。高次元の場合に、この線型近似公式が意味を持つためには は のベクトルを のベクトルへ写す線型写像でければならず、また はその写像の における値でなければならない。点 において全微分係数が存在するならば、 における の任意の偏微分および方向微分が存在する。即ち、任意の に対して が の における -方向への方向微分になる。 を座標成分函数を用いて と書けば、全微分係数は、偏微分を用いて行列として表すことができる。この行列は の におけるヤコビ行列と呼ばれる。全微分係数 が存在することは、すべての偏微分が存在することよりも真に強い条件であるが、偏微分が全て存在して連続ならば全微分は存在し、それはヤコビ行列によって与えられ、 に関して連続的に変化する。全微分係数の定義は一変数の場合も含むものになっている。 が実一変数の実数値函数であるとき、全微分係数の存在する必要十分条件は通常の微分係数が存在することである。ヤコビ行列は微分係数 を唯一の成分とする 行列であり、この行列は なる近似性質を持つ。違いを除いて、これは函数 が の における最適線型近似であることを述べるものである。函数の全微分をとる操作では、一変数の場合と同じやり方で考えたのでは、別の函数（導函数）を与えることは無い。これは多変数函数の全微分係数が一変数函数の微分係数よりも多くの情報をもつものであることからくるもので、実際に全微分は函数の始域となる空間の接束から終域となる空間の接束への写像を与えるものになっている。自然な意味で高階導函数に対応する概念は、線型写像でも接束上の写像でもなく、また全微分を繰り返すことで構成されるものでもない。微分の概念を多くの他の状況設定の下でも拡張して定義することができる。共通することは、一つの点における函数の導函数がその点における函数の線型近似として働くことである。

出典:wikipedia