リーマン予想（リーマンよそう、, ）とは、ドイツの数学者ベルンハルト・リーマンによって提唱された、ゼータ関数の零点の分布に関する予想である。英語表記 Riemann Hypothesis の直訳であるリーマン仮説と表記したり、RH と略すこともある。数学上の未解決問題の一つであり、クレイ数学研究所はミレニアム懸賞問題の一つとしてリーマン予想の解決者に対して100万ドルの懸賞金を支払うことを約束している。リーマンは素数の分布に関する研究を行っている際にオイラーが研究していた以下の級数をゼータ関数と名づけ、解析接続を用いて複素数全体への拡張を行った。ゼータ関数を次のように定義する（"s"は実部が1より大きい複素数とする。このとき、この無限和は絶対収束する）。1859年にリーマンは自身の論文の中で、複素数全体 ("s" ≠ 1) へゼータ関数を拡張した場合、ζ("s") の自明でない零点 "s" は、全て実部が 1/2 の直線上に存在する。と予想した。ここに、自明な零点とは負の偶数 (−2, −4, −6, ...) のことである。自明でない零点は 0 < Re "s" < 1の範囲にしか存在しないことが知られており（下記の歴史を参照）、この範囲をクリティカル・ストリップという。なお素数定理はリーマン予想と同値な近似公式からの帰結であるが、素数定理自体はリーマン予想がなくとも証明できる。この注意は歴史的には重要なことで、実際リーマンがはっきりとは素数定理を証明できなかった理由はリーマン予想の正否にこだわっていたためであると思われている（素数分布とのゼータ関数との関係はゼータ関数や素数定理、リーマンの素数公式の項を参照のこと）。現在もリーマン予想は解決されていない。数学における最も重要な未解決問題の一つである。リーマンのゼータ関数を特殊な場合に含むL関数に対しても同様の予想を考えることができ、これを一般化されたリーマン予想（Generalised Riemann Hypothesis：GRHと略される）と呼んでいる。最近では、虚部が小さい方から10兆個 (X. Gourdon and P. Demichel,2004) までの複素零点はすべてリーマン予想を満たすことが計算されており、現在までにまだ反例は知られていない。現在では多くの数学者が（当然のことだが、はっきりした根拠を持たずに）リーマン予想は正しいと考えているようである。しかし無限にある零点からみれば有限に過ぎない10兆個程度の零点の例などは零点分布の真の姿を反映するには至らないとして、この計算結果に対して慎重な数学者もいる。歴史上有名な数学者の中でもリーマン予想を疑っていた数学者はいる。リーマン予想を仮定すると真であることが知られているたくさんの命題や、リーマン予想と同値であることが示せる命題がある。以下の各命題は、リーマン予想と同値である。リーマンのゼータ関数を、形式的には似ているがはるかに一般的な大域的 "L"-関数に置き換えることによって、リーマン予想を一般化することができる。このより広い設定において、大域的 "L"-関数の非自明な零点の実部が であると期待される。リーマンのゼータ関数のみに対する古典的なリーマン予想よりもむしろ、これらの一般化されたリーマン予想が、数学におけるリーマン予想の真の重要性の理由である。一般化されたリーマン予想 (generalized Riemann hypothesis) は、リーマン予想を全てのディリクレの "L"-関数へ拡張したものである。とくにこの予想は、 (Siegel zero)（ と 1 の間にある "L" 関数の零点）が存在しないという予想を含んでいる。拡張されたリーマン予想 (extended Riemann hypothesis) は、リーマン予想を代数体の全てのデデキントゼータ関数へと拡張したものである。有理数体のアーベル拡大に対する拡張されたリーマン予想は、一般化されたリーマン予想と同値である。リーマン予想は代数体のヘッケ指標の "L"-関数へ拡張することもできる。リーマン予想を証明したと発表した数学者もいるが、正しい解答として受け入れられたものはいまだ存在しない。 はいくつかの正しくない解答をリストしており、より多くの正しくない解答は頻繁に発表されている。関数等式を偏角の原理と合わせて考えれば虚部が 0 と "T" の間にあるゼータ関数の零点の個数は "s" = + "iT" に対して次で与えられるここに偏角は、偏角 0 の ∞ + "iT" から出発し、直線 Im "s" = "T" に沿って連続的に変化させることで定義される。これは大きいがよく分かっている項と小さいがよく分かっていない項の和である。なので虚部が "T" の近くの零点の密度は約 log "T" /2 であり、関数 "S" はこれとの小さな差を記述する。関数 "S"("t") はゼータ関数の各零点において 1 飛び、 に対しては零点の間で導関数がおよそ −log "t" で単調に減少する。 と は、ゼータ関数に関連したある関数のモーメントを考えることによって、臨界線上の零点上には無限個の零点が存在することを証明した。 は、少なくとも（小さい）正の割合の零点はクリティカルライン上にあることを証明した。 は、ゼータ関数の零点をゼータ関数の導関数の零点と関連付けることで、それを に改善し、 はさらに に改善した。リーマン予想に関する数学の論文はそれが真であるかどうか注意深く明言しない傾向にある。 や のように、意見を述べる人の大半は、リーマン予想は正しいと予想（あるいは少なくとも期待）している。これについて深刻に疑っていることを表明する人は少なく、その中には や がいる。Ivić は懐疑的に考えている理由を並べている。また Littlewood は、誤りであると信じており、正しいという何らの証拠がない、正しいことを示す想像できる理由も全く存在しない、ときっぱり述べている。サーベイの論文 (, , ) の共通認識としては、リーマン予想が正しいという証拠は、強いが圧倒的ではないので、おそらく正しいであろうが、これを疑うのも妥当であるとしている。

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