ゼノンのパラドックスは、エレア派のゼノンの考えたパラドックスで、パルメニデスの「感覚は全て疑わしいものである」こと、特に「一があるのであって多があるのではない、多があるとすれば運動は不可能である」という学説をピタゴラス学派の多を主張する立場を批判して唱えたものであった。今日、ゼノンのパラドックスと呼ばれるものは、アリストテレスの『自然学』と、それについてが著した注釈との中に8つ伝わっている。そのうちのいくつかは、本質的に同じ問題を取り扱ったものである。ゼノンの論証がパラドクシカルである所以は「それらが導く結論はいかにも非現実的であるにもかかわらず、結論を導く論証過程自体は正しそうに見える」点にある。つまり論証の前提の正しさを受け入れる者にとって、論証の結論を拒否するためには論証過程のどこに誤りが潜んでいるかを指摘する必要があるが、それは容易ではない。結果として後に多くの哲学者がこの課題に挑戦した。ただしゼノンの意図としては、これらの論証によってその非現実的な結論を主張したかったわけではない。「世界が不可分な要素的な点やアトムからなる」という前提から「運動が不可能となる」という帰結を導き出すことで、運動が可能であるという現実との矛盾を示そうとした、一種の背理法である。その場合「運動自体を否定しよう」というつもりはそもそもゼノンにはなく「否定されるべきはむしろ、そのような非現実的な結論を導く際に前提としてはたらいていた考え方にある」というのがゼノンの考えであった。以下、ゼノンが提示したとされるパラドックスのうち「運動のパラドックス」としてアリストテレス『自然学』が伝える4つを掲げる。地点Aから地点Bへ移動するためには、まずAからの距離がAB間の距離の半分の地点Bに到達しなければならない。さらにAからBへ移動するためには、Aからの距離がAB間の距離の半分の地点Bに到達しなければならない。以下、同様に考えると、地点Aから地点Bへ移動するには無限の点を通過しなければならず、そのためには無限の時間が必要である。よって、有限の時間で地点Aから地点Bへ移動することは不可能である。「走ることの最も遅いものですら最も速いものによって決して追い着かれないであろう。なぜなら、追うものは、追い着く以前に、逃げるものが走りはじめた点に着かなければならず、したがって、より遅いものは常にいくらかずつ先んじていなければならないからである、という議論である。」アリストテレス『自然学』あるところにアキレスと亀がいて、2人は徒競走をすることとなった。しかしアキレスの方が足が速いのは明らかなので亀がハンディキャップをもらって、いくらか進んだ地点（地点Aとする）からスタートすることとなった。スタート後、アキレスが地点Aに達した時には、亀はアキレスがそこに達するまでの時間分だけ先に進んでいる（地点B）。アキレスが今度は地点Bに達したときには、亀はまたその時間分だけ先へ進む（地点C）。同様にアキレスが地点Cの時には、亀はさらにその先にいることになる。この考えはいくらでも続けることができ、結果、いつまでたってもアキレスは亀に追いつけない。ゼノンのパラドックスの中でも最もよく知られたものの一つであり、多数の文献は彼の手に帰しているが、歴史家の説によれば、この議論を創始したのはパルメニデスであるという。その議論やキャラクターの面白さから、アキレスと亀という組み合わせは、この論自体とともに多くの作家に引用された。たとえば、ルイス・キャロルの『亀がアキレスに言ったこと』や、ダグラス・ホフスタッターの啓蒙書『ゲーデル、エッシャー、バッハ』に主役として登場する。「もしどんなものもそれ自身と等しいものに対応しているときには常に静止しており、移動するものは今において常にそれ自身と等しいものに対応しているならば、移動する矢は動かない、とかれは言うのである。」アリストテレス『自然学』アリストテレスは続けて、「この議論は、時間が今から成ると仮定することから生ずる」と述べている。この言から、ゼノンも「時間が瞬間より成る」を前提としていると解される。瞬間においては矢は静止している。どの瞬間においてもそうである。という事は位置を変える瞬間はないのだから、矢は位置を変えることはなく、そこに静止したままである。ゼノンの意が単純にこうであったのかは確定的な事ではない。競技場において、一瞬の間に1単位の距離を移動することができる2台の馬車を考える。それぞれの馬車が移動を開始し、次のように客席に対して1単位だけ移動したとする。このとき、いずれかの馬車に対してもう一方の馬車がどれだけ移動したかを観察すると、2単位移動している。すなわち「馬車は一瞬のうちに1単位移動しようとすれば2単位移動しなければならない」ことになり、これは不可能である。したがって馬車の運動は不可能である。「アキレスと亀」は、二つの条件（亀がアキレスの前からスタートする、亀はアキレスより遅い）の下において、追付くか否かが問題とされている。純粋に数学的に見れば、この条件下では、それは定まらない。ゼノン式に捉えたとしてもそれは同じである。従って、ゼノンの誤りは、何れとも決せられないことであるのに、一方を断じていることである。そのことは、アリストテレスを始めとする、ゼノン式の捉え方そのものが問題を孕むのだとする論議は、追付かないケースもある事を見ていない限りにおいて、何処かに問題を孕んでいる可能性があることを示唆している。追付かないケースは、亀がアキレスより遅い事を維持しつつ、両者の速度差が急速に縮まる設定にすれば作ることが出来る。無数に作り得るが、古代ギリシャ時代の数学では困難であったかも知れない。両者がそれぞれ等速で動くと仮定するならば、以下のように、ゼノン式捉え方で、追付くことを示すことが出来る。アキレスの走行速度を "v" m/s、亀の歩行速度を "rv" m/s とし、亀はアキレスより "L" m 前方にいるとする。亀の歩行速度はアキレスの走行速度よりも小さいので、0 < "r" < 1 である。両者が同時にスタートして、アキレスが亀の出発点まで到達する時間は ("L"/"v") s である。その時亀はアキレスより "rv" × "L"/"v" = "rL" m 前方にいる。そしてアキレスがその位置まで到達するのはさらに ("rL"/"v") s 後であり、その時亀はさらに "r"L" m 前方にいる。以下同様にそれを繰り返していくと、アキレスが亀の位置まで到達する時間の合計はとなる。つまり、項が無限に続き、「常にいくらかずつ先んじて」いるかに見える。だが、項が無限にあっても、「常に」即ち「時間の無限」においてではない。これは初項 "L"/"v

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