三次方程式（さんじほうていしき、"cubic equation"）とは、次数が 3 であるような代数方程式の事である。この項目では主に、実数を係数とする一変数の三次方程式を扱う。一般に一変数の三次方程式はの形で表現される。現代においては、三次方程式の解法といえば、主に代数的解法の事を意味する。古代バビロニアにおいて既に代数的に解かれていたと考えられている二次方程式と違い、三次方程式が代数的に解かれたのは16世紀になってからである。11世紀頃、円錐曲線による作図によって三次方程式の根を幾何学的に表したウマル・ハイヤームなども、三次方程式を代数的に解くことはできないと考えていた。三次方程式の代数的解法はガロア理論へと至る代数方程式論の始まりであり、カルダノが著書『アルス・マグナ』によって三次方程式と四次方程式の代数的解法を公表した1545年は、その影響の大きさから現代数学の始まりの年とされることもある。まだ負の数が数学者達にあまり受け入れられていなかった時代であり、全ての係数が正の数であるとして扱われたために、例えば、の 2 つの三次方程式は、いずれも 2 次の項が無い三次方程式であるが、別の形の方程式とされた。このように負の数ですら嫌悪された時代に、三次方程式の代数的解法は虚数をもたらした。三次方程式の根が全て正の実数である場合に限っても、代数的解法にこだわる限り虚数を避けては通れないのである。虚数に対する不安は、19世紀にコーシーやガウスが活躍するようになるまで続いた。また、三次方程式と四次方程式の代数的解法の発見を元に、数学者達は 5 次以上の一般の代数方程式の代数的解法を追い求めた。最終的にこの代数的解法の存在は、アーベル-ルフィニの定理によって否定されるものの、ガロア理論として結実し、群や体などの基本的な代数的構造の概念を生み出した。三次方程式は、高々 3 個の根を持つ。中間値の定理によれば、実数を係数とする三次方程式は、少なくとも 1 つ以上の実数を解に持つことが分かる。が重根を持つ場合、その重根は、この式を形式的に "x" で微分して得られる、二次方程式の根でもあるため、比較的容易に三次方程式を解くことができる。虚数の根を持つ場合は、 その共役複素数も根となるため、重根を持たない。したがって、重根が現れる場合は、全ての根が実数である。の根を α, α, α とすると判別式 "D" の "a" 倍はとなる。判別式を計算すれば、具体的に根を求めなくてもということが分かる。Δ = 0 の時さらにと定義すれば Δ = 0 の時、三重根を持つ。そうでなければ二重根と（それとは異なる）実数解を 1 つ持ち、Δ > 0 のとき（二重根）< （もう一つの実数解）、Δ < 0 のとき（二重根）> （もう一つの実数解）となる。一般的な三次方程式の代数的解法は、カルダノの方法あるいはカルダノの公式として知られる。を "a" で割りの形にする。( "A" = "a" / "a")によって変数変換を行うとのように二次の項が消えた方程式が得られる。見やすいように一次の係数を "p

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